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सम्पूर्ण समाकल सूत्र संग्रह | Integration Formulas 📐 समाकलन के सभी सूत्र (Integration Formulas) ✓ प्रत्येक सूत्र के साथ दो-दो उदाहरण | ✓ MathJax LaTeX संकेतन 🧮 1. मूलभूत समाकल सूत्र (Basic Integration) \[\int 0 \ dx = C\] उदा.1 \(\int 0 \,dx = C\) उदा.2 \(\int 0 \cdot x^2 \,dx = C\) \[\int 1 \ dx = x + C\] उदा.1 \(\int 1 \,dx = x + C\) उदा.2 \(\int 5 \,dx = 5x + C\) \[\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (n \ne -1)\] उदा.1 \(\int x^3 dx = \frac{x^4}{4}+C\) उदा.2 \(\int x^{-2} dx = -\frac{1}{x}+C\) \[\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|+C\] उदा.1 \(\int \frac{2}{x} dx = 2\ln|x|+C\) उदा.2 \(\int \frac{1}{x+1} dx = \ln|x+1|+C\) \[\int e^x dx = e^x + C\] उदा.1 \(\int e^x dx = e^x + C\) उदा.2 \(\int 5e^x dx = 5e^x + C\) \[\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}+C \quad (a>0,a\ne1)\] उदा.1 \(\int 2^x dx = \frac{2^x}{\ln 2}+C\) उदा.2 ...

Set Theory – UGC NET Economics: Complete Concepts & All Previous Questions (Basic to Advanced) 📘 Set Theory – Basic to Advanced (UGC NET Economics: Complete Concepts + ALL Exam Questions & Solutions) यह संकलन बेसिक से एडवांस कॉन्सेप्ट और UGC NET Economics (Mathematical Economics) में अब तक पूछे गए सभी Set Theory प्रश्नों को पूर्ण सॉल्यूशन के साथ प्रस्तुत करता है। ⭐ कोई भी शब्द / प्रश्न / उत्तर नहीं हटाया गया है — पहले दिए गए सभी 15+ प्रश्न + UGC NET Official Questions यहाँ सम्मिलित हैं। 🟢 Level 1: Basic Concepts 1. Set क्या है? Set अच्छी तरह से परिभाषित वस्तुओं (objects) का एक संग्रह है। उदाहरण: A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {x : x एक सम संख्या है, x 2. Set के प्रकार Set Type Definition Example Finite Set सीमित संख्या में elements {1, 2, 3} Infinite Set असीमित संख्या में elements {1, 2, 3, …} ...

चैप्टर 7, 8, 9: रैंक, नलता, Eigenvalues, Eigenvectors, विकर्णीकरण और कैली-हैमिल्टन – पूर्ण विवरण चैप्टर 7: रैंक (Rank) और नलता (Nullity) – पूर्ण विवरण इस चैप्टर में: रैंक की परिभाषा (पंक्ति एवं स्तंभ दृष्टिकोण), पंक्ति-समतुल्य रूप (Row Echelon Form), रैंक ज्ञात करने की विधियाँ, नलता (Nullity), रैंक-नलता प्रमेय, रैखिकतः स्वतंत्र एवं आश्रित पंक्तियाँ/स्तंभ, तथा रैखिक समीकरणों के हल की प्रकृति में रैंक का उपयोग। 7.1 रैंक (Rank) की परिभाषा परिभाषा (शब्दों में): किसी मैट्रिक्स A की रैंक (rank) उसमें मौजूद रैखिकतः स्वतंत्र पंक्तियों (या स्तंभों) की अधिकतम संख्या होती है। गणितीय रूप: rank(A) = रैखिकतः स्वतंत्र पंक्तियों की संख्या = रैखिकतः स्वतंत्र स्तंभों की संख्या। महत्वपूर्ण: rank(A)=rank(Aᵀ), rank(A) ≤ min(m,n)। उदाहरण 1 (2×2, पूर्ण रैंक): A = [[1,2],[3,4]] → दोनों पंक्तियाँ स्वतंत्र → rank=2 उदाहरण 2 (2×2, अपूर्ण रैंक): B = [[1,2],[2,4]] → पंक्ति2 = 2×पंक्ति1 → rank=1 उदाहरण 3 (3×3, रैंक 2): C = [[1,2,3],[4,5,6],[5,7,9]] → तीसरी पंक्ति = पहली+दूसर...

चैप्टर 6: रैखिक समीकरण निकाय और क्रेमर नियम – पूर्ण विवरण चैप्टर 6: रैखिक समीकरण निकाय और क्रेमर नियम (पूर्ण विवरण) इस चैप्टर में: रैखिक समीकरण निकाय का परिचय, मैट्रिक्स निरूपण (A·X = B), सुसंगत/असंगत निकाय, हल की प्रकृति (अद्वितीय, अनंत, कोई हल नहीं), व्युत्क्रम विधि (X = A⁻¹·B), क्रेमर नियम (2×2 एवं 3×3 पूर्ण उदाहरण), रैंक और निकाय के हल का संबंध (राउश-कपेली प्रमेय), सजातीय व असमजातीय निकाय तथा त्रुटि विश्लेषण का संक्षिप्त परिचय। 6.1 रैखिक समीकरण निकाय का परिचय परिभाषा: रैखिक समीकरणों का निकाय – समीकरणों का समूह जहाँ प्रत्येक चर की अधिकतम घात 1 होती है। सामान्य रूप (m समीकरण, n अज्ञात): a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂ ... aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + ... + aₘₙxₙ = bₘ शब्दावली: अज्ञात (xⱼ), गुणांक (aᵢⱼ), स्थिरांक (bᵢ) उदाहरण 1 (2×2): 2x + 3y = 8 x - y = 1 उदाहरण 2 (3×3): x + y + z = 6 2x - y + z = 3 x + 2y - z = 2 उदाहरण 3 (2 समीकरण, 3 अज्ञात): x + y + z = 5 2x - y + z = 1 6.2 मैट्रिक्स निरूपण (Matrix Representat...

चैप्टर 5: सहखंडज (Adjoint) और व्युत्क्रम (Inverse) – पूर्ण विवरण चैप्टर 5: सहखंडज (Adjoint) और व्युत्क्रम (Inverse) – पूर्ण विवरण इस चैप्टर में: सहखंडक मैट्रिक्स, सहखंडज (Adjoint), व्युत्क्रम की परिभाषा एवं सूत्र (A⁻¹ = adj(A)/det(A)), 2×2 एवं 3×3 के व्युत्क्रम (पूर्ण चरणबद्ध विधि), Gauss-Jordan विधि, गुणधर्म, singular/non-singular पहचान, ज्यामितीय अर्थ एवं विशेष मैट्रिक्स के व्युत्क्रम। 5.1 सहखंडक मैट्रिक्स (Cofactor Matrix) परिभाषा (शब्दों में): किसी वर्ग मैट्रिक्स A के सहखंडक मैट्रिक्स का अर्थ है वह मैट्रिक्स जिसके (i,j) स्थान पर a ij का सहखंडक C ij हो। गणितीय रूप: Cofactor(A) = [C ij ] जहाँ C ij = (-1)^{i+j} M ij । उदाहरण 1 (2×2): A = [[a,b],[c,d]] ⇒ सहखंडक = [[d, -c], [-b, a]] उदाहरण 2 (2×2 संख्यात्मक): A = [[3,5],[2,4]] ⇒ C₁₁=4, C₁₂=-2, C₂₁=-5, C₂₂=3 ⇒ सहखंडक = [[4,-2],[-5,3]] उदाहरण 3 (3×3 – पूर्वनिर्धारित B): B = [[1,0,2],[3,1,1],[2,1,0]] ⇒ C₁₁=-1, C₁₂=2, C₁₃=1, C₂₁=2, C₂₂=-4, C₂₃=-1, C₃₁=-2, C₃₂=5, C₃₃=1 ∴ सहखंडक = [[-1,2,1],[2,-4,-1],...

चैप्टर 4: सारणिक (Determinant) – पूर्ण विवरण चैप्टर 4: सारणिक (Determinant) – पूर्ण विवरण इस चैप्टर में: सारणिक का परिचय, 2×2 एवं 3×3 सारणिक, सरस नियम, उपसारणिक, सहखंडक, लाप्लास विस्तार, सभी गुणधर्म, विशेष मैट्रिक्स के सारणिक, व्युत्क्रम से संबंध, तथा पंक्ति संक्रियाओं द्वारा सारणिक ज्ञात करने की विधियाँ। 4.1 सारणिक का परिचय (Introduction to Determinant) परिभाषा (शब्दों में): सारणिक एक अदिश (scalar) संख्या है जो केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए परिभाषित होती है। यह मैट्रिक्स के गुणों जैसे व्युत्क्रमणीयता, रैखिक समीकरणों के हल की अद्वितीयता आदि को दर्शाती है। संकेतन: det(A) या |A|। 2×2 के लिए |a b; c d| = ad - bc. ऐतिहासिक: लाइबनिज़, क्रेमर, केली – क्रेमर नियम रैखिक समीकरणों को हल करने हेतु। 4.2 2×2 मैट्रिक्स का सारणिक (Determinant of 2×2 Matrix) सूत्र: det(A) = ad - bc, जहाँ A = [[a, b], [c, d]]। उदाहरण 1 (सरल संख्याएँ): A = [[3,5],[2,4]] ⇒ det = 3×4 - 5×2 = 12-10=2 उदाहरण 2 (ऋणात्मक): B = [[-2,3],[1,-4]] ⇒ det = (-2)(-4) - (3)(1)=8-3=5 उदाहरण 3 ...