16 Linar equation

चैप्टर 6: रैखिक समीकरण निकाय और क्रेमर नियम (पूर्ण विवरण)

इस चैप्टर में: रैखिक समीकरण निकाय का परिचय, मैट्रिक्स निरूपण (A·X = B), सुसंगत/असंगत निकाय, हल की प्रकृति (अद्वितीय, अनंत, कोई हल नहीं), व्युत्क्रम विधि (X = A⁻¹·B), क्रेमर नियम (2×2 एवं 3×3 पूर्ण उदाहरण), रैंक और निकाय के हल का संबंध (राउश-कपेली प्रमेय), सजातीय व असमजातीय निकाय तथा त्रुटि विश्लेषण का संक्षिप्त परिचय।

6.1 रैखिक समीकरण निकाय का परिचय

परिभाषा: रैखिक समीकरणों का निकाय – समीकरणों का समूह जहाँ प्रत्येक चर की अधिकतम घात 1 होती है।
सामान्य रूप (m समीकरण, n अज्ञात):
a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂
...
aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + ... + aₘₙxₙ = bₘ
शब्दावली: अज्ञात (xⱼ), गुणांक (aᵢⱼ), स्थिरांक (bᵢ)

उदाहरण 1 (2×2):

2x + 3y = 8
 x -  y = 1

उदाहरण 2 (3×3):

 x + y + z = 6
2x - y + z = 3
 x + 2y - z = 2

उदाहरण 3 (2 समीकरण, 3 अज्ञात):

 x + y + z = 5
2x - y + z = 1

6.2 मैट्रिक्स निरूपण (Matrix Representation) – A·X = B

सूत्र: A·X = B, जहाँ A (गुणांक मैट्रिक्स, m×n), X (अज्ञात सदिश, n×1), B (स्थिरांक सदिश, m×1)

उदाहरण 1 (2×2):

A = [[2,3],[1,-1]], X = [[x],[y]], B = [[8],[1]]

उदाहरण 2 (3×3):

A = [[1,1,1],[2,-1,1],[1,2,-1]], X = [[x],[y],[z]], B = [[6],[3],[2]]

उदाहरण 3 (आयत मैट्रिक्स):

3 समीकरण, 2 अज्ञात ⇒ A = [[1,1],[2,-1],[1,3]] (3×2), B = [[5],[1],[7]]

6.3 सुसंगत (Consistent) और असंगत (Inconsistent) निकाय

सुसंगत: कम से कम एक हल मौजूद।
असंगत: कोई हल नहीं मौजूद।

उदाहरण 1 (सुसंगत – अद्वितीय):

x+y=3, x-y=1 ⇒ हल (2,1)

उदाहरण 2 (सुसंगत – अनंत):

x+y=2, 2x+2y=4 ⇒ अनंत हल (t,2-t)

उदाहरण 3 (असंगत):

x+y=2, x+y=5 ⇒ कोई हल नहीं

6.4 हल की प्रकृति – वर्ग निकाय (m=n) के लिए

· det(A) ≠ 0 ⇒ अद्वितीय हल (A⁻¹ मौजूद)
· det(A) = 0 ⇒ या तो कोई हल नहीं या अनंत हल (B पर निर्भर)

उदाहरण (det ≠ 0):

2x+3y=8, x-y=1 ⇒ det = -5 ≠ 0 ⇒ अद्वितीय हल

उदाहरण (det=0, अनंत):

x+2y=4, 2x+4y=8 ⇒ det=0, अनंत हल

उदाहरण (det=0, कोई हल नहीं):

x+2y=4, 2x+4y=9 ⇒ det=0, असंगत

6.5 व्युत्क्रम विधि (Inverse Method) – X = A⁻¹·B

सूत्र: X = A⁻¹·B (केवल जब A वर्ग हो और det(A) ≠ 0)

उदाहरण (2×2 पूरा हल):

निकाय: 2x+3y=8, x-y=1
A = [[2,3],[1,-1]], det(A) = -5
A⁻¹ = (1/(-5))[[-1,-3],[-1,2]] = [[0.2,0.6],[0.2,-0.4]]
X = A⁻¹·B = [[11/5],[6/5]] ⇒ x=2.2, y=1.2 ✓

6.6 क्रेमर नियम (Cramer's Rule) – पूर्ण विवरण

सूत्र: xⱼ = det(Aⱼ)/det(A), जहाँ Aⱼ = A के j-वें स्तंभ को B से बदलने पर।

6.6.1 2×2 निकाय के लिए क्रेमर नियम

उदाहरण (2×2):

2x+3y=8, x-y=1
det(A) = -5
A₁ = [[8,3],[1,-1]] ⇒ det(A₁) = -11 ⇒ x = (-11)/(-5)=11/5
A₂ = [[2,8],[1,1]] ⇒ det(A₂) = -6 ⇒ y = (-6)/(-5)=6/5

6.6.2 3×3 निकाय के लिए क्रेमर नियम

उदाहरण (3×3 पूरा हल):

निकाय: x+y+z=6, 2x-y+z=3, x+2y-z=2
A = [[1,1,1],[2,-1,1],[1,2,-1]], det(A)=7
A₁ = [[6,1,1],[3,-1,1],[2,2,-1]] ⇒ det(A₁)=7 ⇒ x=1
A₂ = [[1,6,1],[2,3,1],[1,2,-1]] ⇒ det(A₂)=14 ⇒ y=2
A₃ = [[1,1,6],[2,-1,3],[1,2,2]] ⇒ det(A₃)=21 ⇒ z=3
हल: (1,2,3) ✓

सीमाएँ: केवल वर्ग मैट्रिक्स, det(A)≠0, n>3 के लिए अत्यधिक गणना (n! सारणिक)।

6.7 रैंक (Rank) और निकाय के हल का संबंध – राउश-कपेली प्रमेय (Rouché–Capelli)

रैंक (संक्षिप्त): रैखिकतः स्वतंत्र पंक्तियों/स्तंभों की अधिकतम संख्या (चैप्टर 7 में विस्तार)।
राउश-कपेली प्रमेय: A·X = B सुसंगत है ⇔ rank(A) = rank([A|B])
· यदि rank(A) = n (अज्ञातों की संख्या) → अद्वितीय हल
· यदि rank(A) < n → अनंत हल (n - rank(A) मुक्त चर)

उदाहरण 1 (अद्वितीय):

x+y=3, x-y=1 ⇒ rank(A)=2=rank([A|B])=n ⇒ अद्वितीय

उदाहरण 2 (अनंत):

x+2y=4, 2x+4y=8 ⇒ rank(A)=1=rank([A|B])<2 ⇒ अनंत हल

उदाहरण 3 (कोई हल नहीं):

x+2y=4, 2x+4y=9 ⇒ rank(A)=1, rank([A|B])=2 ⇒ असंगत

6.8 सजातीय (Homogeneous) और असमजातीय (Non-Homogeneous) निकाय

सजातीय: A·X = 0 (B = 0) → सदैव सुसंगत (X=0 तुच्छ हल)
· rank(A) = n ⇒ केवल तुच्छ हल
· rank(A) < n ⇒ अपरिमित रूप से अनेक हल (अतुच्छ)
असमजातीय: A·X = B (B ≠ 0) → सामान्य हल = विशिष्ट हल + सजातीय हल

उदाहरण (सजातीय, केवल तुच्छ):

2x+3y=0, x-y=0 ⇒ det≠0 ⇒ x=0,y=0

उदाहरण (सजातीय, अनंत):

x+2y=0, 2x+4y=0 ⇒ y=t, x=-2t

6.9 त्रुटि विश्लेषण (Error Analysis) – संक्षिप्त परिचय

स्थिति संख्या (Condition Number): cond(A) = ||A||·||A⁻¹||
· cond(A) बड़ा ⇒ ill-conditioned (B में छोटा परिवर्तन X में बड़ा बदलाव)
· cond(A) ≈ 1 ⇒ well-conditioned

उदाहरण (लगभग singular):

A = [[1,1],[1,1.0001]], det(A) ≈ 0.0001 (बहुत छोटा) ⇒ अतिसंवेदनशील

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चैप्टर 6 का सारांश (सभी महत्वपूर्ण बिंदु)

विषयमुख्य बात निकाय का रूपa₁₁x₁ + ... + a₁ₙxₙ = b₁ मैट्रिक्स रूपA·X = B सुसंगत (Consistent)कम से कम एक हल मौजूद असंगत (Inconsistent)कोई हल नहीं अद्वितीय हल (वर्ग)det(A) ≠ 0 अनंत हल (वर्ग)det(A)=0 और सुसंगत व्युत्क्रम विधिX = A⁻¹·B (det≠0) क्रेमर नियमxⱼ = det(Aⱼ)/det(A) राउश-कपेलीसुसंगत ⇔ rank(A)=rank([A|B]) सजातीय निकायA·X=0, सदैव X=0 एक हल असमजातीय निकायहल = विशिष्ट + सजातीय हल

— चैप्टर 6 समाप्त: रैखिक निकाय, मैट्रिक्स निरूपण, व्युत्क्रम एवं क्रेमर विधि, रैंक संबंधी राउश-कपेली प्रमेय, सजातीय/असमजातीय निकाय एवं त्रुटि विश्लेषण पूर्ण रूप से सम्मिलित —

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