16 Matrix

चैप्टर 3: मैट्रिक्स संक्रियाएँ (पूर्ण विवरण)

चैप्टर 3: मैट्रिक्स संक्रियाएँ (पूर्ण विवरण)

इस चैप्टर में: योग, अंतर, अदिश गुणन, मैट्रिक्स गुणन, ट्रांसपोज़, कॉन्जुगेट, हर्मिशियन ट्रांसपोज़, ट्रेस, घातांक, तथा मैट्रिक्स के बहुपद। प्रत्येक संक्रिया के लिए परिभाषा, शर्तें, गुण, चरणबद्ध विधि एवं अनेक उदाहरण।

3.1 मैट्रिक्स का योग (Addition of Matrices)

परिभाषा (शब्दों में): दो मैट्रिक्सों को जोड़ने का अर्थ है उनके संगत (corresponding) अवयवों को जोड़ना।
गणितीय रूप: यदि A = [aij] और B = [bij] दोनों m×n हों, तो C = A + B जहाँ cij = aij + bij सभी i, j के लिए।
शर्तें: A और B का आकार बिल्कुल समान होना चाहिए (दोनों m×n)।
गुण: क्रमविनिमेय, साहचर्य, तत्समक (A+O=A), प्रतिलोम (A+(-A)=O)
उदाहरण 1 (2×2 मैट्रिक्स का योग – चरणबद्ध):
A = [ [2, 5], [3, 1] ]
B = [ [4, -2], [0, 7] ]

चरण 1: पहली पंक्ति, पहला स्तंभ: 2 + 4 = 6
चरण 2: पहली पंक्ति, दूसरा स्तंभ: 5 + (-2) = 3
चरण 3: दूसरी पंक्ति, पहला स्तंभ: 3 + 0 = 3
चरण 4: दूसरी पंक्ति, दूसरा स्तंभ: 1 + 7 = 8

∴ A + B = [ [6, 3], [3, 8] ]
उदाहरण 2 (3×2 मैट्रिक्स का योग):
P = [ [1, 2], [3, 4], [5, 6] ]
Q = [ [0, 1], [1, 0], [2, 2] ]
P + Q = [ [1, 3], [4, 4], [7, 8] ]
उदाहरण 3 (आकार भिन्न – असंभव):

A (1×3) और B (2×2) → योग परिभाषित नहीं।

उदाहरण 4 (शून्य मैट्रिक्स के साथ):
A = [ [7,-3],[2,0] ], O = [[0,0],[0,0]] → A+O = A
उदाहरण 5 (अवयव ज्ञात करना):

A+B = [[5,6],[7,8]], A=[[2,3],[4,5]] ⇒ B = [[3,3],[3,3]]

3.2 मैट्रिक्स का अंतर (Subtraction of Matrices)

परिभाषा: C = A - B जहाँ cij = aij - bij, आकार समान होना चाहिए।
उदाहरण 1 (2×2):
A = [[8,3],[5,2]], B = [[2,1],[4,0]] ⇒ A-B = [[6,2],[1,2]]
उदाहरण 2 (आकार अलग):

A (2×3) और B (3×2) → अंतर संभव नहीं।

3.3 अदिश गुणन (Scalar Multiplication)

परिभाषा: kA = [k·aij] (प्रत्येक अवयव k से गुणा)। कोई आकार प्रतिबंध नहीं।
गुण: वितरक, साहचर्य, 1·A=A, 0·A=O
उदाहरण 1 (अदिश 3 से गुणा):
A = [[1,-2],[0,4],[3,1]] ⇒ 3A = [[3,-6],[0,12],[9,3]]
उदाहरण 2 (ऋणात्मक अदिश):
B = [[2,1],[3,4]], k=-2 ⇒ kB = [[-4,-2],[-6,-8]]

3.4 मैट्रिक्स गुणन (Matrix Multiplication) – सबसे महत्वपूर्ण संक्रिया

3.4.1 परिभाषा और आकार की शर्त

परिभाषा: C = AB तभी परिभाषित जब A के स्तंभ = B की पंक्तियाँ। A(m×n)·B(n×p)=C(m×p)
सूत्र: (AB)ik = Σj=1n aij bjk (डॉट गुणनफल)।

3.4.2 चरणबद्ध विधि

1. आकार मिलान जाँचें। 2. परिणामी आकार (m×p) निर्धारित करें। 3. प्रत्येक cik = (A की पंक्ति i) · (B का स्तंभ k)

3.4.3 गुण

क्रमविनिमेय नहीं, साहचर्य, वितरक, तत्समक (A·I=A), शून्य के साथ गुणन।

उदाहरण 1 (2×2 और 2×2):
A = [[1,2],[3,4]], B = [[5,6],[7,8]]
c₁₁ = 1·5+2·7=19, c₁₂=1·6+2·8=22, c₂₁=3·5+4·7=43, c₂₂=3·6+4·8=50
AB = [[19,22],[43,50]]
BA = [[23,34],[31,46]] ≠ AB
उदाहरण 2 (2×3 और 3×2):
A = [[1,2,3],[4,5,6]], B = [[7,8],[9,10],[11,12]]
c₁₁=1·7+2·9+3·11=58, c₁₂=1·8+2·10+3·12=64, c₂₁=4·7+5·9+6·11=139, c₂₂=4·8+5·10+6·12=154
AB = [[58,64],[139,154]]
उदाहरण 3 (आकार मेल न खाना):

A (2×3) और B (2×2) → गुणन असंभव (3≠2)

उदाहरण 4 (पंक्ति सदिश × स्तंभ सदिश):
A = [1,2,3] (1×3), B = [[4],[5],[6]] (3×1) ⇒ AB = 1·4+2·5+3·6 = 32
उदाहरण 5 (स्तंभ सदिश × पंक्ति सदिश):
A = [[2],[3],[4]] (3×1), B = [1,5] (1×2) ⇒ AB = [[2,10],[3,15],[4,20]]

3.4.9 गुणन के महत्वपूर्ण तथ्य

AB=0 का अर्थ A=0 या B=0 आवश्यक नहीं; AB=AC ⇒ B=C आवश्यक नहीं; A·I = I·A = A

3.5 मैट्रिक्स का ट्रांसपोज़ (Transpose of a Matrix)

परिभाषा: (AT)ij = Aji (पंक्तियाँ ↔ स्तंभ)।
गुण: (AT)T=A, (A+B)T=AT+BT, (kA)T=kAT, (AB)T=BTAT।
उदाहरण 1 (2×3):
A = [[1,2,3],[4,5,6]] ⇒ AT = [[1,4],[2,5],[3,6]]
उदाहरण 2 (3×3):
B = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] ⇒ BT = [[1,4,7],[2,5,8],[3,6,9]]
उदाहरण 3 (पंक्ति सदिश):
R = [1,2,3,4] ⇒ RT = [[1],[2],[3],[4]]
उदाहरण 4 (गुण (AB)T=BTAT की जाँच):
A=[[1,2],[3,4]], B=[[5,6],[7,8]] ⇒ (AB)T = [[19,43],[22,50]] और BTAT = [[19,43],[22,50]] सत्यापित

3.6 कॉन्जुगेट (Conjugate of a Matrix) – सम्मिश्र मैट्रिक्स के लिए

परिभाषा: (\overline{A})_{ij} = \overline{a_{ij}} (प्रत्येक अवयव का सम्मिश्र कॉन्जुगेट)।
गुण: \overline{\overline{A}}=A, \overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B}, \overline{AB}=\overline{A}\cdot\overline{B}।
उदाहरण 1 (2×2 सम्मिश्र):
A = [[2+3i, 1-i], [4i, 5]] ⇒ \overline{A} = [[2-3i, 1+i], [-4i, 5]]
उदाहरण 2 (वास्तविक):
B = [[1,2],[3,4]] ⇒ \overline{B} = B

3.7 हर्मिशियन ट्रांसपोज़ (Conjugate Transpose / Hermitian Transpose)

परिभाषा: A* = \overline{A^T} = (\overline{A})^T, अर्थात (A*)ij = \overline{a_{ji}}।
गुण: (A*)*=A, (A+B)*=A*+B*, (AB)*=B*A*।
उदाहरण:
A = [[1+i, 2], [3, 4-i]] ⇒ \overline{A} = [[1-i,2],[3,4+i]] ⇒ A* = [[1-i,3],[2,4+i]]

3.8 ट्रेस (Trace of a Matrix)

परिभाषा: tr(A) = Σi=1n aii (केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए)।
गुण: tr(A+B)=tr(A)+tr(B), tr(kA)=k·tr(A), tr(AB)=tr(BA) (महत्वपूर्ण), tr(AT)=tr(A)।
उदाहरण 1 (2×2):
A = [[3,8],[5,-2]] ⇒ tr(A)=3+(-2)=1
उदाहरण 2 (3×3):
B = [[2,1,0],[4,-3,5],[1,7,6]] ⇒ tr(B)=2+(-3)+6=5
उदाहरण 3 (tr(AB)=tr(BA)):
A=[[1,2],[3,4]], B=[[5,6],[7,8]] ⇒ tr(AB)=69, tr(BA)=69

3.9 मैट्रिक्स की घात (Power of a Matrix)

परिभाषा: Ak = A·A·...·A (k बार), केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए। A0=I, Am·An=Am+n।
उदाहरण 1 (A²):
A = [[1,2],[3,4]] ⇒ A² = [[7,10],[15,22]]
उदाहरण 2 (A³):
A³ = A²·A = [[37,54],[81,118]]
उदाहरण 3 (विकर्ण मैट्रिक्स की घात):
D = [[2,0],[0,3]] ⇒ D² = [[4,0],[0,9]], D³ = [[8,0],[0,27]]

3.10 मैट्रिक्स के बहुपद (Polynomials in a Matrix)

परिभाषा: यदि p(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ, तो p(A) = a₀I + a₁A + a₂A² + ... + aₙAⁿ (A वर्ग)।
उदाहरण (पूरा हल):
p(x) = 2 + 3x - x², A = [[1,1],[0,2]]
A² = [[1,3],[0,4]]
p(A) = 2I + 3A - A² = 2[[1,0],[0,1]] + 3[[1,1],[0,2]] - [[1,3],[0,4]]
     = [[2,0],[0,2]] + [[3,3],[0,6]] - [[1,3],[0,4]]
     = [[4,0],[0,4]] = 4I

चैप्टर 3 का सारांश (सभी संक्रियाएँ एक तालिका में)

संक्रियासूत्रआकार की शर्तउदाहरण (सरल)
योग(A+B)ij=aij+bijसमान आकार[[1,2]]+[[3,4]]=[[4,6]]
अंतर(A-B)ij=aij-bijसमान आकार[[5,6]]-[[1,2]]=[[4,4]]
अदिश गुणन(kA)ij=k·aijकोई नहीं2×[[1,2]]=[[2,4]]
गुणन(AB)ik=Σ aijbjkA:n=B:n2×3 और 3×2
ट्रांसपोज़(AT)ij=Ajim×n → n×m[[1,2],[3,4]]T=[[1,3],[2,4]]
कॉन्जुगेट(\overline{A})_{ij}=\overline{a_{ij}}समान आकार[[1+i]] का कॉन्जुगेट [[1-i]]
हर्मिशियन ट्रांसपोज़(A*)ij=\overline{A_{ji}}m×n → n×m[[1+i,2]]*=[[1-i],[2]]
ट्रेसtr(A)=Σ aiiकेवल वर्गtr([[2,3],[4,5]])=7
घातAk=A·A·...·Aकेवल वर्ग[[1,2],[3,4]]²
बहुपदp(A)= Σ ak Akकेवल वर्गp(A)=A²-2A+I
— चैप्टर 3 समाप्त, प्रत्येक संक्रिया परिभाषा, शर्त, गुण, चरणबद्ध विधि एवं अनेक उदाहरणों सहित पूर्ण रूप में प्रस्तुत है —

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